§5.7 广义积分

【引例】计算曲线 与轴的正半轴所围的曲边梯形的面积。

按照定积分的几何意义，所求的曲边梯形面积应为 。

显然，这一积分再不是普通的定积分，因为它的积分上限是正无穷大。

该如何来求这一“新定积分”的值呢?首先用计算机来做一个数值试验：

编程计算的值，并作出这些值的图象，观察图象是否逼近于一条固定的直线。

请运行matlab程序gs0504.m。

一、积分区间为无穷区间的广义积分

【定义一】

设函数在区间上连续， 任取 ，如果极限

存在，则称此极限值为函数在无穷区间上的广义积分，并记作,亦即

此时，也称广义积分收敛；

如果上述极限不存在， 则称广义积分发散。

类似地

设函数 在区间上连续，任取 ，如果极限

存在，则称此极限值为函数在无穷区间上的广义积分，

记作 ，亦即

此时，也称广义积分 收敛；如果上述极限不存在， 则称广义积分发散。

类似地

设函数在区间上连续，如果广义积分

与

同时收敛，则称上述两广义积分之和为函数在无穷区间上的广义积分，记作。

亦即

这时，也称广义积分 收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分发散。

上述积分称为无穷限的广义积分。

【反例】

但

发散,因此，是发散的。

【例1】计算广义积分

解：

显然，无穷限广义积分就是任意有限区间上定积分的极限。

【例2】计算广义积分 。

解：

观察上述解题过程，极限符号直到最后才参与运算，为了方便，我们可以将之写成如下形式：

请注意：将上下限代入原函数时，意味着取极限

这样约定，并未改变无穷限广义积分的实质，却使记号简洁了许多，且与定积分的计算程序基本上一致。

【例3】证明广义积分当 时收敛； 当发散。

解：若

若

二 无界函数的广义积分

【定义二】

设函数 在区间上连续， 且，取 ，

如果极限 存在，则称此极限值为函数 在区间上的广义积分，记作 。亦即

此时，也称广义积分收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分发散。点称之为奇点。

类似地，有

设函数 在区间上连续，且，取 ，如果极限存在，则称此极限值为函数在区间上的广义积分，记作 。亦即

此时， 也称广义积分收敛；如果上述极限不存在， 则称广义积分发散。点 称之为奇点。

类似地， 又有

设函数在上除外均连续， 且，

如果两个广义积分 与 均收敛， 则定义广义积分

否则称广义积分发散。点 称之为奇点

注明：上式中的与不一定是相同的。

【例4】求

解：，

故 奇点。

注明：为了简便，上述过程也可写成

【例5】讨论 的敛散性。

解：,故 是奇点。

故 发散，从而， 原广义积分亦发散。

此题若忽视是奇点，将积分当作普通积分来处理，会导致错误解法

【例6】证明广义积分 当时收敛；当时发散。

解：当 时， 是奇点，

广义积分 ，

故广义积分 发散；

当 时，

故广义积分 收敛；

当时，

故广义积分 发散；

综合得：